現行のホームページに手を入れることで、検索順位結果の改善など可能でしょうか?

現行のサイトの状況によりますが、検索順位の結果が悪いのには全体の構成に原因があることが多いのが事実です。
このため、現行のサイトの手直しでは、大幅な改善成果を望むことは困難ですので、全体的なリニューアルをおすすめ致します。

成果とコストのバランスを考えても、それが最善な提案と思います。